Argumentación 2

Los fractales son tan relevantes que no solamente se puede encontrar una aplicación práctica para ellos en las finanzas, sino también existe un uso en la informática, en la biología y en la geometría.

En la informática es usado para buscar el conjunto de ecuaciones  que describen una imagen. Esto se hace tomando la imagen y expresándola en el SFI (Sistema de Funciones Iteradas), este conjunto de ecuaciones describe algunas partes del fractal que cuando se unen, recrean al fractal. Este proceso es muy útil para la compresión de imágenes y videos para que “pesen” menos (que tengan menos bytes) y puedan ser transmitidos más rápidamente por la red.

En la biología se ha observado que el sistema de venas y arterias sigue la geometría fractal y se cree que también el código genético. También se está estudiando la relación que esta geometría presenta con el metabolismo de los animales y  la fuerza en función de su peso. La geometría fractal también se usa para elaborar mapas de tres dimensiones detallados, hasta con un 99.9% de similitud a la realidad, para calcular la distancia entre dos puntos y para predecir fenómenos geográficos, por ejemplo, las crecidas del Río Nilo.

Otro campo en el que los fractales han revolucionado es la psicología. En 1993, Stuart Watt propuso reproducir los comportamientos basándose en geometría fractal y así captar patrones comunes en las diferentes conductas del ser humano, después de haber analizado en problema de “Las Torres de Hanoi” determinó que sí era posible hacerlo. También se han encontrado que dependiendo determinada emoción, se presentan patrones fractales en la expresión del rostro y que existen patrones fractales al resolver problemas inferenciales, estos patrones son totalmente individuales y diferentes para cada persona, como si fueran una huella dactilar. Incluso se demostró que existen patrones fractales para identificar los ciclos en el comportamiento ideológico de España entre los años 1983 y 2006.

Así que los fractales tienen una importante presencia en la naturaleza ya que se encuentran en casi cualquier rama del conocimiento, teniendo aplicaciones para todo tipo de problemas y han permitido al hombre ver el mundo más nítidamente y con mayor resolución.

Argumentación 1

Los fractales han empezado a tomar importancia en la vida actual del ser humano debido a la gran cantidad de aplicaciones que presentan en varias áreas del conocimiento. Una de éstas se encuentra en el aspecto financiero y fue descubierta por Ralph Nelson Elliot (1871-1948) en la década de 1930, aunque, en realidad, no sabía que estaba manejando fractales.

Elliot observó (en los gráficos de precios) el movimiento de precios, las tendencias del mercado y sus cambios, dándose cuenta de que seguían un comportamiento repetitivo. Él dice que "la estructura completa está basada en cinco ondas en el sentido de la tendencia principal y tres ondas en una fase correctiva posterior", esto debido a dos factores: el miedo a perder y la ambición a ganar.

Estos gráficos son auto-similares, es decir, se ven igual si ves un gráfico diario, uno mensual o uno de cualquier otra escala. También tienen una dimensión fraccional superior a 1 pero inferior a 2. Estas dos propiedades que presentan nos muestran que tienen una estructura fractal.

Estas características contradicen la independencia de los rendimientos bursátiles, haciendo que se utilice al "Coeficiente de Hurst" como medida de obtención de la correlación entre precios sucesivos.

Fractales. El Universo sigue un mismo patrón.

¿Es posible que dentro del caos que rige al universo pueda existir algún patrón que nos ayude a ordenarlo? La respuesta es sí y me refiero a los fractales. Un fractal es un tipo de forma geométrica en la que cada una de sus partes es igual a ella misma.

Algunos ejemplos muy claros son los brócolis, los helechos o las ramas de los árboles, sin embargo casi toda la naturaleza está “ordenada” por fractales, se pueden ver en la distribución de las estrellas, en la ramificación alveolar de los pulmones, en la frontera difusa de una nube, en las fluctuaciones de los precios, en agregados químicos, en la trayectoria de las partículas de polvo que se encuentran en el aire, en el crecimiento poblacional de las bacterias, en los flujos turbulentos y en una infinidad de aspectos no sólo del mundo, sino del universo.

El descubrimiento de los fractales fue sumamente importante no sólo en matemáticas, sino también en las ciencias naturales, en las ciencias sociales, en el arte, en la economía y hasta en el cine, porque, como ya se dijo, se encuentran por doquier. Esta geometría fractal ha permitido reformular viejos problemas y también ha simplificado algunos. También ha permitido que imaginemos curvas infinitas que se delimitan en un espacio (como la Curva de Koch) y que nos adentremos en temas peculiares como la dimensión fraccional, esto significa que un objeto puede estar, por ejemplo, ocupando más espacio que una línea pero menos que un plano.

Parece ser que en donde exista un patrón irregular y caótico en la naturaleza se han generado fractales y el manejo de éstos podría llevarnos a entender mejor el funcionamiento del universo en el que estamos inmersos, por eso hablaré de las implicaciones que tienen, de cómo han ayudado a mejorar la vida en diferentes áreas del conocimiento y de los misterios a los que nos han llevado.

Fractales. La división entre un universo caótico y uno ordenado

¿Creen que sea posible dominar el caos? Si observas más detenidamente te podrás dar cuenta que el desorden del universo sigue algunos patrones bien estructurados. Estos patrones son los fractales. Parece como si Dios hubiera querido que el mundo fuera igual para los humanos que para las hormigas, sí, ¡es en serio! ¿Alguna vez han observado un helecho? Bueno, fíjense que siempre manifiesta el mismo patrón pero a diferentes escalas, o sea, una parte de éste es igual al todo.

Helecho

¿Ya vieron? Parece como si las pequeñas partes del helecho fueran unos helechos chiquitos, y a su vez, las partes de las partes igual parecen helechitos y así sucesivamente. Éste es un buen ejemplo de cómo se diverte la naturaleza jugando con diferentes figuras. Uno de los ejemplos de estas "figuras" (fractales) más representativas es la curva de Koch, construida por Helge von Koch en 1904. La formación de ésta la expliqué en mi entrada anterior, sin embargo, se observa muy claramente en el gif de abajo.

Curva de Koch

Copo de nieve de Koch

Esta curva es bastante curiosa, ¿sabían que tiene longitud infinita? ¡Es increíble! A pesar de estar delimitada por una región finita, tiene una extensión sin fin. Esto pasa porque siempre puedes agregar más y más detalles. Otra característica peculiar es que si queremos saber a qué dimensión pertenece y aplicamos la fórmula d_f = log(N)/log(L/l), entonces veremos que se encuentra en la dimensión 1.2619, o sea, ¡tiene una dimensión fraccional! Cubre más espacio que una recta pero menos que una plano. Lo sé, cada vez se pone más interesante...

Los fractales se maniefiestan muchísimo en la naturaleza como en los agregados coloidales, poliméricos, electroquímicos, aparatos y sistemas de los seres vivos, en la localización geográfica de epicentros, etcétera. La primera aplicación que se les dio fue en los sistemas de comunuicación digital para reducir el ruido que se escucha, por ejemplo, cuando hablamos por teléfono. Se encontró que estos sistemas presentan un patrón fractal conocido como "Conjunto de Cantor", creado por Georg Cantor, éste conjunto es el mostrado a continuación:

Conjunto de Cantor

Este montón de líneas que parecen no tener importancia tiene una dimensión de 0.6309  y podría ser lo que nos ayudará a "ordenar" el universo. Se ha utilizado para representar la extraña distribución de los anillos de Saturno, las fluctuaciones del precio del algodón, las variaciones del nivel de agua del Río Nilo y, cuando se extiende la idea que contruye este fractal a tres dimensiones, entonces el patrón coincide con la distribución de las estrellas y galaxias del universo, ¡está cañón!.

Parece ser como si cada "desastre" en el universo se hubiera generado por fractales, así que si queremos entenderlo un poco más, aprender sobre este tema podría ayudar un montón. El mundo de fractales apenas está en desarrollo, pero está cambiando la forma en la que piensa el humano.

"Sólo somos una raza avanzada de monos en un planeta menor de una estrella promedio. Pero podemos entender el universo. Eso nos hace muy especiales." Stephen Hawking

Mi perspectiva: El álgebra booleana está por doquier

¡Hola a todos! Alguna vez se habrían imaginado que el principio básico de las computadoras y de todos los sistemas digitales surgió en África. Esto es lo que dio a conocer una investigación hecha por Ron Eglash. Bueno, no se vaya a malinterpretar, él no dice que las computadoras nacieron ahí, sino que el principio básico de éstas, como lo es el código binario, era usado por los africanos mucho antes de lo que imaginamos.

Para explicar esto es necesario saber qué son los fractales, lo trataré de explicar con un proceso. Si tienes, por ejemplo, un triángulo equilátero, divides cada lado entre tres, luego tomas la parte intermedia y le añades dos "lados" formando otro triángulo equilátero más pequeño y luego repites el proceso muchas veces obtienes un fractal. Se puede ver más fácilmente en la figura siguiente:

Yo definiría a un fractal como un cuerpo cuyos elementos son copias del elemento original y los elementos de los elementos también. Un ejemplo sería un copo de nieve o un brocoli.

Bueno ahora sí, Ron Eglash descubrió que los techos de las casa africanas estaban contruidas con patrones de fractales y entonces consiguió una beca para ir a investigar más sobre esto en África. Él descubrió que toda África seguía estos patrones, existen en el sur de Zambia, en las montañas Mandara, Mooulek, en los ciclos de fertilidad de los campos, en cómo estaban apiladas las calabazas, incluso en sus ceremonias (existe una en la que rompen las calabazas apiladas (zalanga) y su alma se irá a la eternidad. Esto quiere decir que el infinito es importante como lo es para los fractales, ya que su patrón de repetición es recursivo y no puede nunca acabar), o sea, tienen un sistema de auto-organización como lo tiene la naturaleza, porque los fractales están presentes en toda ella pero curiosamente sólo se ve en el sistema de organización de los africanos... y de nadie más.

Eglash cree que algunos fractales en África fueron pura intuición, sin embargo existen unos increíblemente sofisticados como en la escultura Manghetu o en los cruces de Etiopía se puede ver un "desdoblamiento" de la forma, en Angola dibujan líneas en la arena haciendo el "Camino Euleriano" y lo hacen recursivamente, y finalmente en toda África puedes observar un juego de mesa llamado "Owari", "Mancala", "Bao" o "Sogo" en el que se usan patrones auto-organizados que forman fractales. ¡También usan fractales para contruir vallas para protegerse del viento! Pero el algoritmo más cañón que encontró en África fue el de la adivinación en arena de Bamana en la que cada símbolo tiene cuatro bits (cuatro trazos en la arena), consiste en dibujar líneas en la arena aleatoriamente y debes de contarlas, si el número es impar, entonces escribes un trazo y si el número es par, entonces dos trazos. Esto está genial, porque concuerda sorprendentemente con la adición módulo 2, como lo hace la computadora: par más impar da impar, impar más par da impar, para más par da impar e impar más impar da par.

Este "juego" está tan bien organizado que hasta se podría implementar un software y sería una herramienta fantástica para las escuelas africanas de ingeniería. Esto que los africanos juegan fue visto por Leibniz pero en vez de que hubiera un trazo o dos trazos, él propuso un 0 y un 1, después Boole tomó este código binario y creó el álgebra booleana y luego von Neumann tomó esta álgebra booleana y creó la computadora digital. Así que todo circuito digital comenzó en África.

Y bueno, esto ha sido aplicado en el Programa de Ampliación de la Participación en la Computación de la Fundación Nacional de la Ciencia para que cualquier persona pueda entrar en la red y crear sus propios artefactos y simulaciones y hasta se descubrió una mejora en los niños que usan este software en la clase de matemáticas.

Eglash dice que la auto-organización es lo máximo, existe en nuestro cerebro, fue por lo que Google ha tenido un gran éxito, está en la toda naturaleza y en los sistemas de África, y el álgebra booleana, como ya vimos, puede ayudarnos a auto-organizarnos; cuando descubrimos esto se crearon las computadoras transformando radicalmente el mundo en el que vivimos.

Quiero concluir mi entrada diciendo que el álgebra boolena es algo sumamente básico que se encuentra en todos lados, nuestra vida se ha convertido en un "sistema binario". En mi entrada "Mi tema de investigación: Lógica booleana" pueden observar que tiene una relación muy estrecha con la psicología, después en la de "¿Qué pasa si relacionamos el álgebra booleana, el control y la interacción colectiva?" podrán leer que sirve para el control de robots y que si somos capaces de hacer que los robots interactuen entre sí podríamos lograr cosas maravillosas y ahora en esta entrada podemos ver que hasta en los juegos de África está presente este tema. El álgebra booleana está en cada computadora, celular, en algunos sistemas de organización, en las paradojas de  la psicología, en el control de robots, en cada sistema digital... ¡está donde sea!

https://books.google.com.mx/books?id=NKQqIlNQbBYC&lpg=PT14&ots=EkRGa8g05K&dq=fractales&lr&pg=PT32#v=onepage&q=fractales&f=false

http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.dir/ethnic.dir/Bamana%20Sand%20Divination.pdf

¿Qué pasa si relacionamos el álgebra booleana, el control y la interacción colectiva?

¡Quiobo! En la clase de hoy nos dijeron que debemos trabajar en red, entonces relacioné mi tema con el de Amaury. Él habla de la conexión que existe entre los seres o las "cosas" para relacionarse entre sí. Amaury cree que podría haber una ley que permite que las células, o los humanos o hasta los robots interactuen entre sí, aunque no exista relación alguna (aparentemente) entre ellos. Cree que esta ley no puede ser biológica, porque los robots no tienen vida y que sea matemática es una buena opción.

Después de platicar con él encontré un libro sobre el control de errores de robots por medio de "pan-boolean algebra", y me pareció súper interesante porque si somos capaces de controlar un robot, es posible que podamos controlar a un grupo de robots.

El sistema se basa en el sistema de control PID, que son las siglas de Proporcional Integral Derivativo, y lo que hace es que el robot se da cuenta del error que está cometiendo (un error podría ser, por ejemplo, si el robot debe seguir una línea y se desvía de ésta), entonces lo disminuye. Luego, ya que el error es menor, lo vuelve a ver y entonces lo disminuye más y más hasta que el error se corrige por completo o por lo menos casi por completo. Todo esto lo hace a través de unas fórmulas matemáticas que se deben implementar en el programa que tiene montado el robot. El sistema de control PID se usa muchísimo en la industrias para corregir los errores de los robots porque es muy eficiente y rápido, es una simple combinación linear de operaciones. Sin embargo, el control PID del álgebra pan-booleana lo que tiene de genial es que es una operación no linear de reglas complejas que puede resolver propósitos mucho más complicados y por eso está reemplazando al sistema de control PID normal.

Entonces, después de leer que es posible controlar el error de un robot, ¡imagínense lo que sería capaz de hacer un grupo de robots que tuviera esta tecnología! Y ¿si los robots del grupo estuvieran conectados entre sí? Estoy soñando un poco, pero los robots podrían corregir o prevenir los errores tanto suyos como los de los otros, porque están conectados, tendrían una eficacia asombrosa y sería un ejército capaz de hacer cualquier cosa que se les programe de una manera extraordinaria, debido a la sincronía que tendría. No sé si me expliqué bien, pero estoy pensando como en la sincronía que tienen los monitos que dicen "La garra..." de la película de Toy Story, ellos, se supone, que "son uno" y entonces imagínense un grupo de robots así, que "sean uno" cada quien corregiría su error y a la vez, como "son uno", entonces preverían los errores que están cometiendo los demás para no cometerlos siendo una máquina casi perfecta.

Podría ser el futuro del que hablaba Sarah Bergbreiter en el que mini robots salvan vidas, o a lo mejor y hasta podrían ser robots humanoides que actúen perfectamente bien organizados realizando tareas que son peligrosas para el hombre. ¿Será que seamos capaces de esto? No lo sé, pero lo averiguaré en los próximos años, y el álgebra booleana podría ser la respuesta a esta pregunta intrigante.

Referencias
O'Dwyer, Aidan. 2009. Handbookof PI and PID Controller Tuning Rules. London: Imperial College Press, 2009. eBook Collection (EBSCOhost), EBSCOhost (accessed March 3, 2015).

Mi tema de investigación: Lógica booleana

¡Hola a todos! Estoy  haciendo una investigación y me topé con la Lógica Booleana. Éste es un tema que seguramente a la mayoría de las personas les da dolor de cabeza, pero a mí me fascina y además tiene una gran relación con mi carrera, la Mecatrónica. Pero... ¿Cómo rayos lo relaciono con el tema de la clase (Cómo ayudar al mundo desde mi carrera)? Bueno, para esto me atreví a relacionar la matemática con la psicología (algo que creía imposible) para así descubrir cómo la lógica ayuda al mundo.

Hasta finales del siglo IXX las dos ramas estaban estrechamente relacionadas, sin embargo, después se separaron principalmente por la psicología experimental y por el surgimiento de la lógica de Boole, de DeMorgan y otros (Ben Goertzel). Al separarse surgió la pregunta de si la lógica matemática era un tipo de proceso mental muy especial o si estaba conectada con los procesos de pensamiento de todos los días y, a su vez, por esto surgieron dos ramas: el psicologismo y el logismo.

La primera sostiene que la lógica es un subconjunto de la psicología y la segunda que la psicología es un subconjunto de la lógica. La reacción de Boole con respecto a esto fue sugerir que las ecuaciones algebráicas de su lógica correspondían a la estructura del pensamiento humano, esto se concuerda con lo que piensa Leibniz, quien anticipó lo que descubrió Boole, y  no sólo concuerda, sino que también se complementa. Él (Leibniz) pensaba que la lógica podía explicar no sólo la mente, sino también el mundo físico. Por otro lado, Stuart Mill sostiene en su obra "System of Logic" que la lógica es una ciencia, pero que además es una rama  de la psicología, dice que los axiomas de la lógica son generalizaciones de experiencia.

Y bueno...¿Por qué hacer énfasis en la lógica booleana?  Bueno aunque la lógica booleana parezca simple (porque sólo utiliza el "AND", "OR" y "NOT"), matemáticamente, casi todos los sistemas lógicos son álgebras booleanas y además las paradojas de la lógica booleana son paradojas de las matemáticas modernas. Por lo tanto, estas paradojas son armas muy potentes para los "anti-lógicos" y podrían ser la clave para averiguar la relación entre la lógica y la psicología. Goertzel nos dice que estas paradojas son tan catastróficamente "básicas" que no pueden ser resueltas, sino que se debe probar que son irrelevantes.

Las cuatro paradojas son:

1. La primera paradoja de la implicación.
2. La segunda paradoja de la implicación.
3. Sensitividad de contradicción.
4. La confirmación de la paradoja de Hempel.

Ha habido varios intentos de gran calidad por demostrar que estas paradojas son irrelevantes, sin embargo ninguno es conceptualmente bueno, pero como podemos ver, las matemáticas y la psicología tienen tanta relación que inlcuso tienen las mismas paradojas y el hombre es capaz de resolverlas (o probar que son irrelevantes) con ayuda del álgebra booleana. Entonces, si logramos hacerlo, podríamos avanzar no sólo en matemáticas, sino también en psicología, así de importante y útil es el álgebra booleana.

Las siguientes entradas las dedicaré a explicar cómo el álgebra booleana puede ayudar al mundo a ser un mejor lugar abordando diferentes temas, el de esta entrada fue la psicología.

Toda la información fue obtenida del libro "Chaotic Logic: Language, Thought, and Reality from the Perspective of Complex Systems Science".